【資料圖】
岳麓書院藏秦簡(jiǎn)中的《數(shù)》
——匯集各種實(shí)用算法的最早數(shù)學(xué)著作
作者：李洪財(cái)（湖南大學(xué)岳麓書院副教授）
2007年湖南大學(xué)岳麓書院從香港收購(gòu)一批秦簡(jiǎn)，這批材料從鑒定、入藏、整理到逐漸公布完畢，到現(xiàn)在已經(jīng)過去15年。在這十幾年里，學(xué)界通過這批材料在古代法律、政治、經(jīng)濟(jì)等許多領(lǐng)域都取得了豐碩的成果，而且很多成果具有開創(chuàng)性，足見這批材料的重要作用。這批材料內(nèi)容非常豐富，有秦代的歷譜、官箴、占?jí)?、?shù)學(xué)、法律等文獻(xiàn)。其中律令內(nèi)容占比最大，關(guān)注度也最高，實(shí)際上其他內(nèi)容的價(jià)值絕不亞于律令，其中《數(shù)》的關(guān)注度就與這部文獻(xiàn)的重要程度極不匹配。
岳麓秦簡(jiǎn)《數(shù)》編聯(lián)復(fù)原圖。資料圖片
《周禮·地官·大司徒》：“三曰六藝：禮、樂、射、御、書、數(shù)?！编嵭ⅲ骸皵?shù)，九數(shù)之計(jì)?！薄熬艛?shù)”見于《周禮·地官·保氏》：“養(yǎng)國(guó)子以道，乃教之六藝：一曰五禮、二曰六樂、三曰五射、四曰五御、五曰六書、六曰九數(shù)。”鄭玄注引鄭眾云：“九數(shù)：方田、粟米、差分、少?gòu)V、商功、均輸、方程、贏不足、旁要?！笨芍皵?shù)”所包含內(nèi)容覆蓋了中國(guó)古代政府管理和運(yùn)作的方方面面?！皵?shù)”作為六藝之一是中國(guó)古代為官的基本技能，也可以說是官方教育體系中的基礎(chǔ)必修課。所以數(shù)學(xué)在中國(guó)古代有著重要的地位。過去研究中國(guó)早期的數(shù)學(xué)，主要是靠《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》。這兩部書是傳世文獻(xiàn)中最早的數(shù)學(xué)著作，產(chǎn)生時(shí)間一般認(rèn)為是西漢中后期。岳麓秦簡(jiǎn)《數(shù)》的斷代最晚不會(huì)晚過秦始皇三十五年（公元前212年），從時(shí)代說要比《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》早一兩百年。通過《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》這兩部書，可知西漢中后期的數(shù)學(xué)成就已經(jīng)很高了。現(xiàn)在根據(jù)《數(shù)》的研究成果可知，這兩部書的很多內(nèi)容可直接追溯到秦代，也足以說明秦代的數(shù)學(xué)水平?？梢哉f，《數(shù)》刷新了我們對(duì)中國(guó)早期數(shù)學(xué)水平的認(rèn)識(shí)，而且對(duì)《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》兩書的形成以及其中一些算題的最終解析方法提供了關(guān)鍵的材料。
《數(shù)》簡(jiǎn)冊(cè)背面自署標(biāo)題，此“數(shù)”也恰可與上揭《周禮》及古注中的“九數(shù)”對(duì)讀理解?！稊?shù)》全卷共有236個(gè)編號(hào)，另有18枚殘片，共有81例算題，還有19例是單獨(dú)記錄計(jì)算方法的簡(jiǎn)文，內(nèi)容大致涉及《九章算術(shù)》中的方田（求方形田地面積）、粟米（求不同米的等價(jià)換算）、衰分（比例分配法）、少?gòu)V（截少?gòu)亩喾ǎ?、商功（求體積法）、盈不足（求適中之法）、勾股等諸章的部分內(nèi)容。其中的勾股算題是目前我國(guó)勾股定理的最早文獻(xiàn)記載。所謂“勾股”是指直角三角形中短直角邊為“勾”，長(zhǎng)直角邊為“股”，第三條斜邊是“弦”?！吨荀滤憬?jīng)》中記載周朝的商高提出“勾三股四弦五”理論，也就是我們今天所說的勾股定理?！稊?shù)》中勾股算題簡(jiǎn)文說：“□有園材埋地，不知小大，斲之，入材一寸而得平一尺，問材周大幾何。即曰：半平得五寸，令相乘也，以深（213/0304）一寸為法，如法得一寸，又以深益之，即材徑也。（214/0457）”傳世文獻(xiàn)《九章算術(shù)》“勾股”章第九題記述是：“今有圓材埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺。問徑幾何。答曰：材徑二尺六寸。術(shù)曰：半鋸道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材徑?！眱烧邔?duì)比即可知雖然文字措辭有別，但兩者主要內(nèi)容和描述方式基本一致。如果把《數(shù)》翻譯作今天的話，簡(jiǎn)文的意思是說，有一個(gè)圓形木材埋于地下，不知道大小。從上面砍去一寸，砍削之后的切面長(zhǎng)為一尺(10寸)，問木材直徑是多少。算法：橫切面的一半為5寸，再乘以半平(5寸)，用深的數(shù)值1做除數(shù)，相除，單位為寸，再加上深的數(shù)值1寸，就是木材直徑。簡(jiǎn)文的算法用今天的數(shù)學(xué)式表示是：5寸×5寸/1寸+1寸=26寸。這只是給出的一個(gè)范例算法，并不知道其中的原理?！毒耪滤阈g(shù)》劉徽解釋說：“此術(shù)以鋸道一尺為勾，材徑為弦，鋸深一寸為股弦差之一半，鋸（道）長(zhǎng)是半也”，“亦以半增之，如上術(shù)，本當(dāng)半之，今此皆同半差，不復(fù)半也”。如果結(jié)合劉徽的解釋與勾股定理對(duì)應(yīng)來(lái)說，砍削之后的切面長(zhǎng)，也就是《九章算術(shù)》中所說的“鋸道”長(zhǎng)度是“勾”；木材直徑與2倍砍削深度之差是“股”，所求木材直徑是“弦”。如果將勾設(shè)a、股b、弦c，勾股定理的基本公式是：a2+b2=c2。已知a=10，b=c-2×1，按照勾股定理所得算式就是：102+（c-2×1）2=c2。最后計(jì)算得出c等于26寸。（詳參肖燦：《岳麓書院藏秦簡(jiǎn)〈數(shù)〉研究》，中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社2015年，第136頁(yè)）也就是說《九章算術(shù)》的勾股算法現(xiàn)在可以直接溯源到岳麓秦簡(jiǎn)《數(shù)》，同時(shí)說明先秦很早就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用了勾股定理，其源頭應(yīng)該比《數(shù)》的下限年代更早。
《數(shù)》是一部匯集當(dāng)時(shí)實(shí)用計(jì)算法式的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)抄本，它是目前所見最早的匯集各類實(shí)用算法的數(shù)學(xué)著作。也正因?yàn)樗醋越?jīng)濟(jì)、法律、軍事等行業(yè)的應(yīng)用實(shí)例，使得這批材料不僅具有數(shù)學(xué)研究?jī)r(jià)值，其對(duì)古代社會(huì)的研究?jī)r(jià)值也不可小覷。以其中所記載的“營(yíng)軍之術(shù)（筑營(yíng)布陣之術(shù)）”（69/0883、70/1836+0800）為例，其簡(jiǎn)文翻譯后意思是說：“構(gòu)筑營(yíng)壘，布置軍陣之術(shù)，首先從全體士卒數(shù)去除守衛(wèi)兩門的各1200人，再去除剩余人數(shù)的半數(shù)。然后除以10。如果每3步置一戟卒的話，就將其卒數(shù)擴(kuò)大3倍；每4步置一戟卒的話，就將其卒數(shù)擴(kuò)大4倍；每5步置一戟卒的話，就將其卒數(shù)擴(kuò)大5倍。假如軍隊(duì)士卒總?cè)藬?shù)為1萬(wàn)人。問哨位可延及多少里？答案為：3里240步，這是3步置一卒值守的情況?！睆暮?jiǎn)文可以看出，算題是考慮到士卒人數(shù)、執(zhí)戟卒的距離在不同規(guī)模的軍營(yíng)布置中存在變化，而且不是所有的士卒都要到周邊站崗，所以計(jì)算軍陣營(yíng)壘大小時(shí)，還考慮了實(shí)際站崗人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比例。如果沒有實(shí)踐，這些變量因素很難在算題中得到周全體現(xiàn)。所以這道算題應(yīng)該就是從布置軍營(yíng)的實(shí)踐中得出的算式，當(dāng)時(shí)在軍中可能有專職或兼職官員負(fù)責(zé)“營(yíng)軍（筑營(yíng)布陣）”事務(wù)，“營(yíng)軍之術(shù)”算題主要是提供給這些人學(xué)習(xí)用的。（肖燦：《岳麓書院藏秦簡(jiǎn)〈數(shù)〉研究》，中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社2015年，第61頁(yè)）這也是我們通過《數(shù)》對(duì)古代社會(huì)的一個(gè)新認(rèn)識(shí)。當(dāng)然這類人是否真實(shí)存在，究竟屬于何官何職，這都需要更多材料進(jìn)一步佐證。其實(shí)《數(shù)》中還有很多這類史實(shí)，既然《數(shù)》的算題來(lái)源于實(shí)際生活的實(shí)例，相信《數(shù)》中還有很多這類“新知”有待挖掘，我們也期待更多領(lǐng)域能夠通過不同視角關(guān)注《數(shù)》，關(guān)注岳麓書院藏秦簡(jiǎn)。
《光明日?qǐng)?bào)》（ 2023年06月17日?11版）
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